Énoncé

(Eao09) Soit E un espace euclidien de dimension n.

  1. Hyperplan médiateur. Soit u et v deux vecteurs non nuls et de même norme dans E. Montrer qu’il existe une unique reflexion s telle que s(u) = v.
  2. Soit f ∈𝒪(E). En raisonnant par récurrence descendante sur
           (          )
k = dim  ker(f − Id)
                E

    pour k < n, montrer qu’il existe des réflexions r1,⋅⋅⋅,rp (avec p n k) telles que

    f = r ∘⋅⋅⋅∘r
     1      p

Corrigé

(Cao09)

  1. Analyse. Soit s une reflexion telle que s(u) = v. Alors
    s(v) = u ⇒ s(v − u) = u − v = − (v − u)

    donc s est la réflexion par rapport à l’hyperplan Vect(v u).
    Synthèse. Soit s la réflexion par rapport à l’hyperplan Vect(v u). Alors :

    ∀x ∈ E, s(x) = x− 2 (v-−-u∕x2)(v − u).
                   ∥v− u∥

    En particulier :

               (v− u∕u)
s(u) = u − 2------2 (v− u)
           ∥v − u∥

    avec v= udonc

    ∥v − u∥2 = ∥v∥2 + ∥u∥2 − 2(v∕u)
                                        2
                                  = 2∥u∥ − 2(v∕u) = − 2(v− u∕u).

    On en déduit s(u) = v.