Énoncé

(Eap02) Formule de Stirling.
Pour n dans N, on pose Sn = ln(n!) et

x  = S  − n ln(n) +n,  y  = x − 1 ln(n)
 n    n                n    n  2
  1. Montrer que 0 xn.
  2. Calculer un développement de xn+1 xn dont le reste est o(12
n).
  3. Calculer un développement de yn+1 yn dont le reste est o(1-
n2).
  4. Montrer que la suite est monotone à partir d’un certain rang, montrer ensuite qu’elle est convergente. En déduire l’existence d’un réel K tel que
             √ --
n! ∼ nne−n nK

(voir exercice ip03 (http://81.28.96.244/data/temptex/fexip.pdf) pour une expression de K.)

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