Énoncé
(Ecu01) Discuter et résoudre, suivant les valeurs du paramètre m, les équations ou inéquations
Corrigé
(Ccu01) Comme il s’agit de discuter sur le paramètre m, le résultat doit être de la forme suivante
Il ne doit JAMAIS apparaitre quelque chose du genre « Si x ceci alors ... »
On doit transformer l’équation ou l’inéquaion proposée en une autre équivalente
et d’une forme plus commode pour la résolution.
Étude de l’équation (1).
On peut discuter et répondre directement
Étude de l’inéquation (2).
On transforme l’inéquation
![]() |
Lorsque m − 1≠0, on peut factoriser encore et tout revient à placer
par rapport à −2 et 1. On étudie la fonction h ainsi définie. Il s’agit
d’une fonction homographique dont les propriétés suivantes doivent être
connues.
On peut la décomposer
Son graphe (figure 1) est une hyperbole et elle est strictement croissante dans chaque intervalle de définition. De plus h(m) = 0 est impossible et h(m) = 1 ⇔ m = 0. Tout revient à étudier le signe de
Ceci contient le cas particulier ] − 2,+∞[ pour m = 0.
Étude de l’inéquation (3).
On considère la fonction φm définie par
Il s’agit alors de discuter selon m de l’ensemble des x pour lesquels φm(x) ≥ 0.
On sait que la fonction est définie et continue dans et que sa limite est
−∞ en +∞.
Considérons l’équation φm(x) = 0 :
![]() |
En effet, le signe de −
est le même que celui de
![]() |
Pour autant, am et bm ne sont pas forcément des solutions de (3i) car ils vérifient
mais pas forcément
En fait bm + 1 > 0 donc bm est toujours solution de (3i) alors que
Lorsque m ∈ [1,2], la fonction φm s’annule deux fois en an < bm et en changeant de signe (étude dérivée). L’ensemble des solutions est alors
Lorsque m > 2, la fonction s’annule seulement en bn (en changeant de signe). L’ensemble des solutions est
Il faudrait examiner plus sérieusement les cas particuliers m = 1,2.