Énoncé

(Ecu01) Discuter et résoudre, suivant les valeurs du paramètre m, les équations ou inéquations

(m + 1)x+ 2− m   =  0                      (1)
            m         1
          x-−-1  ≤  x-+-2                  (2)
       √2x-+-m-- ≥  x + 1                  (3)

Corrigé

(Ccu01) Comme il s’agit de discuter sur le paramètre m, le résultat doit être de la forme suivante

Il ne doit JAMAIS apparaitre quelque chose du genre « Si x ceci alors ... »
On doit transformer l’équation ou l’inéquaion proposée en une autre équivalente et d’une forme plus commode pour la résolution.

Étude de l’équation (1).

On peut discuter et répondre directement

Étude de l’inéquation (2).

On transforme l’inéquation

(2) ⇔ --m--− --1-- ≤ 0 ⇔ m(x-+-2)−-(x-−-1)≤ 0
     x − 1  x + 2         (x − 1)(x + 2)
                                          (m − 1)x+ 2m + 1
                                       ⇔  --(x−-1)(x+-2)-- ≤ 0

Lorsque m 10, on peut factoriser encore et tout revient à placer

       1+ 2m
h(m ) =-1−-m-

par rapport à 2 et 1. On étudie la fonction h ainsi définie. Il s’agit d’une fonction homographique dont les propriétés suivantes doivent être connues.
On peut la décomposer

       1+ 2(m − 1)+ 2         3
h(m ) =-------------- = − 2 +-----
            1− m             1− 3

PIC

Figure 1:Exercice : graphe de h

Son graphe (figure 1) est une hyperbole et elle est strictement croissante dans chaque intervalle de définition. De plus h(m) = 0 est impossible et h(m) = 1 m = 0. Tout revient à étudier le signe de

       --x-− h-(m-)-
(m − 1)(x− 1)(x+ 2)

Étude de l’inéquation (3).

On considère la fonction φm définie par

        √-------
φm (x) =  2x + m − (x + 1)

Il s’agit alors de discuter selon m de l’ensemble des x pour lesquels φm(x) 0.
On sait que la fonction est définie et continue dans [ m-    [
− 2 ,+ ∞ et que sa limite est −∞ en +.
Considérons l’équation φm(x) = 0 :

                                2
(3i)  φm (x) = 0 ⇒ 2x + m = (x+ 1)
                                           ⇔  x2 = m − 1  (3f)