Énoncé
(Ecu11) Exprimer les sommes en fonction de n ≥ 2 :
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Corrigé
(Ecu11) Ces sommes se calculent de deux manières. En utilisant la relation entre coefficients du binôme
ou bien en dérivant des fonctions. Détaillons cette deuxième idée.
Définissons une fonction φ dans ℝ par :
On en déduit, avec les règles de dérivation,
(le premier terme disparait en dérivant) On en déduit
Notons
alors
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Calcul de ∑
k=2nk(k − 1) : à compléter.
Calcul de ∑
k=0n : à compléter.
Calcul de ∑
k=0p. On exprime les coefficients du binôme avec des
factorielles que l’on redistribue. On obtient