Énoncé

(Ecu11) Exprimer les sommes en fonction de n 2 :

∑n  (n )    ∑n    k (n )
   k  k ,     (− 1)k  k ,
k=1         k=1          (  )                 (  )
                ∑      k n  ,       ∑       k  n ,
            kpair∈{0,⋅⋅⋅,n}  k     k impair∈{1,⋅⋅⋅,n}   k
                 n        ( )     n      (  )
                ∑  k(k− 1) n  ,  ∑   -1--- n ,
                k=2        k     k=0 k+ 1  k
                                               ∑p (  )(     )
                                       p ∈ ⟦0,n ⟧    n   n− k
                                               k=0  k   p− k

Corrigé

(Ecu11) Ces sommes se calculent de deux manières. En utilisant la relation entre coefficients du binôme

         ( )    (     )
          n       n− 1
k ≥ 1,  k k  = n  k− 1

ou bien en dérivant des fonctions. Détaillons cette deuxième idée.
Définissons une fonction φ dans par :

      ∑n (n) k        n
φ(t) =     k  t = (1+ t)
      k=0

On en déduit, avec les règles de dérivation,

 ′     n∑  (n) k−1         n−1
φ (t) =     k  t   = n(1+ t)
       k=1

(le premier terme disparait en dérivant) On en déduit

∑n   (n)
   k     = φ′(1) = n2n−1
k=1   k

∑n    k (n )      ′
  (− 1)k  k  = − φ (− 1) = 0
k=1

Notons

                 ( )                     ( )
        ∑         n             ∑         n
A =             k k  , B =              k k
    kpair∈{0,⋅⋅⋅,n}            kimpair∈{1,⋅⋅⋅,n}

alors

 − A+ B = φ ′(− 1) = 0}
         ′       n−1      ⇒      A    =     B     =     n 2n−2
A + B = φ (1) = n2

Calcul de k=2nk(k 1)(nk) : à compléter.
Calcul de k=0n-1-
k+1(n)
 k : à compléter.
Calcul de k=0p(n)
 k(n− k)
p−k. On exprime les coefficients du binôme avec des factorielles que l’on redistribue. On obtient

 p(p)
2  n