Énoncé

(Ede01) Calculer un développement limité en 0 des fonctions suivantes à l’ordre indiqué entre parenthèses :

3sin2x 2sin3x (4) ln(1+ x)
-1-+-x-- (3)
√ --------
  1+ cosx (4)
esin x (3) √--------
 1 +tanx (3)
--sin-x--
ln(1+ x) (3) tan2x2 (4)
etan x (4) ∘----√-----
 1 +  1 − x (2)
x3x2 -----dt----
√ t4 + t2 + 1 (10)

Corrigé

(Cde01)

3sin 2x− 2sin3x = 5x3 + O (x5)
                                              (  )
            ln(1+-x)-= x−  3x2 + 11x3 − 25x4 + O x5
             1 + x        2√ -  6    √12
           √1-+-cosx = √2-−--2x2 − ---2--x4 + O (x4)
                            8      128× 3
                sinx         1 2   1 4    ( 5)
                e   = 1+ x + 2x  − 8x + O  x
        √ --------     1    1 2   11 3  -47 4    ( 5)
          1+ tanx = 1+ 2x − 8x  + 48x − 384x  + O x
             --sinx---     1    1 2   1- 3    ( 4)
             ln(1+ x) = 1+ 2 x− 4x  − 24x + O  x
                     (    2)2   4    ( 4)
                      tanx   = x  + o x
             etan x = 1+ x + 1x2 + 1x3 + 3x4 + o(x4)
           ∘ ----------    2     2    8
             1+ √1-−-x-= √2 − -1√-x − --5√--x2 + o(x2)
                              4 2    64  2
             ∫ x2     dt               1     1
                  √-4---2----= x2 − x3 − x6 +-x9
              x3   t + t + 1           6     6
                                               − -1x10 +o(x10)
                                                 40