Énoncé

(Ede24) Déterminer les limites en +des fonctions suivantes

∘ --------- ∘ --------- (     1)x2
  ln(x2 + 1)−  ln(x2 − 1),  x sin--   ,
               (   (      ) )xx  (        )xlnx
                tan  π-+ 1-   ,  ln(1+-x)     ,
                     4   x         lnx
                    (      1x    1x)      2
                    -(x+-1)-−-x---(xlnx)-,
                           xx1x − x
                             1n      2( 1    x1+1)
            ((x+ 1)⋅⋅⋅(x+ n))  − x, x ex − e    ,
                                    lna(1 + x)− lna(x) avec a > 0.

Corrigé

(Cde24)

∘ln(x2 +-1)− ∘ln-(x2-−-1) +−−∞→ 0,
         (       ) 2         (    (      ))
               1- x  +∞  − 16       π-  1-  x + ∞  2
           xsinx    −−→  e  ,  tan  4 + x     −−→ e ,
                     (        )x lnx +∞
                      ln(1+-x)      −−→ e
                         lnx       (            )
                                   (x + 1)x1− x1x  (x ln x)2 +∞
                                  ----------1-----------−−→  1
                                         xx x − x

Pour la dernière fonction

(x + 1)⋅⋅⋅(x + n) = xn(1+ 1-)(1 + 2)⋅⋅⋅(1 + n) =
                       x      x        x  (                 )
                                     = xn  1+  n(n+-1)+ o(1)
                                                 2x       x

On en déduit (car n est fixé)

((x + 1)⋅⋅⋅(x + n))n1
                      (                 ) 1
                   = x 1 + n(n+-1)-+o(1-) n
                             2x       x
                                           (    (n+ 1)    1 )
                                       = x  1 + --2x--+ o(x)

La limite cherchée est donc n+1
 2.

 2( 1    -1)
x  ex − ex+1  →  à compléter,
                           lna(1+ x)− lna(x) → à compléter a > 0.