Énoncé

(Edg01) Soit U un ouvert de 2 (resp 3), une application numérique f définie dans U est dite harmonique si et seulement si Δf = 0

     ∂2f-  ∂2f-         ∂2f-  ∂2f-  ∂2f-
Δf = ∂ x2 + ∂ y2 (resp)  ∂x2 + ∂y2 + ∂z2

est le laplacien de f.

  1. Pour (x,y) 2 et z = x + iy, montrer que la fonction f définie par :
    f((x,y)) = ln ||eze−z||
            |   |

    est harmonique.

  2. Montrer que si f est harmonique et de classe 𝒞3 alors ∂f-
∂ x et y∂f-
∂xx∂f-
∂ y sont harmoniques.
  3. Vérifier que
                     y         z        x
f((x,y,z)) = arctanx-+ arctan y + arctan z

    est harmonique sur 3.

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