Énoncé

(Edi01) Soit A,B deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, montrer la formule de Grassmann en utilisant l’application

   {
     A× B →  E
Φ :   (a,b) ↦→ a+ b

Corrigé

(Cdi01) On vérifie facilement que Φ est linéaire et que son image est A + B. Son noyau est formé par les couples (a,b) A × B tels que

a+ b = 0E ⇒ a = − b ∈ A ∩B
                             d ’où    kerΦ = {(x,− x),x ∈ A ∩B }.

L’application de A B dans kerΦ qui à x associe (x,x) est clairement un isomorphisme. On en déduit l’égalité des dimensions. Par le théorème du rang :

dim(A × B) = dim kerΦ + rg Φ
                      ⇔ dim A +dim B = dim(A ∩B )+ dim(A + B).