Énoncé

(Edi02) Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie E. Montrer que kerf = Imf si et seulement si f2 = 0(E) et 2rg(f) = dimE.

Corrigé

(Cdi02) Ici E est de dimension finie et f ∈ℒ(E).

Im f ⊂ kerf ⇔ f ∘f = Oℒ(E).

De plus, à cause du théorème du rang,

2rg(f) = dim(E ) ⇔ dim(kerf) = rg(f).

On a aussi : soit A et B deux sous-espaces tels que A B, alors

A = B ⇔ dim(A ) = dim (B).