Énoncé

(Edi12) Soit E, F, G de dimensions finies, f ∈ℒ(E,F) et g ∈ℒ(F,G). Montrer que

             {
                   g∘ f = 0ℒ(E,G)
kerg = Im f ⇔  rgf + rg g = dim F.

Corrigé

(Cdi12) Par définition de la composition :

g∘f = 0      ⇔ Im f ⊂ kerg.
       ℒ(E,G)

Donc kerg = Imf g f = 0(E,G). De plus, d’après le théorème du rang appliqué à g

rg f + rgg = rg f + dim F − dim (kerg) = dim F

car rg f = dim(kerg).
Réciproquement,

g∘f = 0ℒ(E,G) → Im f ⊂ kerg.

L’égalité des sous espaces vient de l’égalité des dimensions et du théorème du rang appliqué à g :

rgf + rg g = dim F
                                ⇒ dim(kerg) = dim F − rgg = rgf.