Énoncé

(Edt12) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, soit une base de E et f ∈ℒ(E). Montrer que

∀(u1,⋅⋅⋅ ,un) ∈ En :

           deℬt (f(u1),u2,⋅⋅⋅ ,un)+ deℬt(u1,f (u2),⋅⋅⋅ ,un)+
                   ⋅⋅⋅+ det(u1,u2,⋅⋅⋅ ,f(un))
                         ℬ
                                       = (trf)deℬt(u1,u2,⋅⋅⋅ ,un)

Corrigé

(Cdt12) On vérifie que l’application δ définie par :

δ(u1,⋅⋅⋅ ,un) =
           det(f(u1),u2,⋅⋅⋅ ,un)+ det(u1,f (u2),⋅⋅⋅ ,un)+
            ℬ                   ℬ
                                       ⋅⋅⋅+deℬt(u1,u2,⋅⋅⋅ ,f(un))

est multilinéaire et alternée. Il existe donc un λ tel que δ = λdet

B.Oncalculeλ en prenant pour ui les vecteurs de .