Énoncé

(ed01) Déterminer, pour les équations différentielles suivantes, les ensembles de solutions.

(1) y(t) y(t) = sin3t
(2) y(t) + 2ty(t) = ett2
(3) y(t) + y(t)cotan(t) = sint
(4) (1 + t2)y(t) + ty(t) = 1 + 2t2
(5) y(t) + y(t) = tsint
(6) y(t) iy(t) = ch(t)
(7) y(t) iy(t) = cos(t)
(8) y(t) + y(t) = et + sint
(9) y(t) + y(t) = cos2t

Chercher les solutions à valeurs réelles sauf pour (6) et (7) où l’on cherchera les solutions à valeurs complexes.

Corrigé

(Ced01) Solutions des équations différentielles proposées. Le paramètre λ est réel sauf pour (6) et (7) où il est complexe.

       3       3      -1         3-
(1)   − 8 sin t− 8 cost+ 40 sin(3t)+ 40 cos(3t)
                                                         + λet

(2) ett2 + λet2
(3)   t
-----
2 sint cost
----
 2 +  λ
----
sin t
(4) x +   λ
√-2----
 t + 1
(5) t
2(sint cost) + 1
2cost + λet
(6) 1
2sh(t) + i
2ch(t) + λeit
(7) t
2eit + i
4eit + λeit
(8) tet 1
2cost + 1
2sint + λet
(9) 1
2 + 1-
10cos(2t) + 1
5sin(2t) + λet

Remarques sur les méthodes.
Pour l’équation (1), il faut commencer par linéariser le second membre. Deux méthodes sont possibles.
Première méthode : utiliser sin2t = 1
21
2 cos(2t) puis sinacosb = 1
2(sin(a+ b)+ sin(a − b)).
Deuxième méthode : utiliser la formule du binôme

sin3t = -1--(eit − e− it)3
       (2i)3

Par les deux méthodes, on trouve

         1        3
sin3t = −-sin (3t)+ - sint
         4        4