Énoncé
(ed01) Déterminer, pour les équations différentielles suivantes, les ensembles de solutions.
(1) | y′(t) − y(t) = sin3t | ||||||
(2) | y′(t) + 2ty(t) = et−t2 | ||||||
(3) | y′(t) + y(t)cotan(t) = sint | ||||||
(4) | (1 + t2)y′(t) + ty(t) = 1 + 2t2 | ||||||
(5) | y′(t) + y(t) = tsint | ||||||
(6) | y′(t) − iy(t) = ch(t) | ||||||
(7) | y′(t) − iy(t) = cos(t) | ||||||
(8) | y′(t) + y(t) = e−t + sint | ||||||
(9) | y′(t) + y(t) = cos2t |
Chercher les solutions à valeurs réelles sauf pour (6) et (7) où l’on cherchera les solutions à valeurs complexes.
Corrigé
(Ced01) Solutions des équations différentielles proposées. Le paramètre λ est réel sauf pour (6) et (7) où il est complexe.
![]() |
(2) | et−t2 + λe−t2 | ||||||
(3) | ![]() ![]() ![]() | ||||||
(4) | x + ![]() | ||||||
(5) | ![]() ![]() | ||||||
(6) | ![]() ![]() | ||||||
(7) | ![]() ![]() | ||||||
(8) | te−t −![]() ![]() | ||||||
(9) | ![]() ![]() ![]() |
Remarques sur les méthodes.
Pour l’équation (1), il faut commencer par linéariser le second membre. Deux
méthodes sont possibles.
Première méthode : utiliser sin2t = −
cos(2t) puis sinacosb =
.
Deuxième méthode : utiliser la formule du binôme
Par les deux méthodes, on trouve