Énoncé

(Eef14) On note 𝒟 le -espace vectoriel des fonctions dérivables de dans . Soit f ∈𝒟. Pour chaque x , on note fx ∈𝒟 définie par :

∀t ∈ ℝ, fx(t) = f(t+ x).

On note V = Vect(fx, x ) et on suppose dimV = 2.
Montrer que fet f′′ sont dans V . En déduire que f est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.

Corrigé

(Cef14) Il existe x1 et x2 tels que (fx1,fx2) base de V .
Comme la famille est génératrice, il existe des fonctions à valeurs complexes λ1 et λ2 telles que

∀x ∈ ℝ, fx = λ1(x)fx1 + λ2(x)fx2.

On va montrer que λ1 et λ2 sont dérivables. Pour cela on les exprime comme solutions d’un système de Cramer. Pour tout (x,t) 2,

(∗)  f(x+ t) = λ1(x)f(x1 + t)+ λ2(x )f(x2 +t).

En particulier, pour tout t

{
       f (x1)λ1(x)+ f(x2)λ2(x) = f (x)
 f (x1 + t)λ1(x)+ f(x2 + t)λ2(x) = f (x + t)

Le déterminant de ce système est

Δt = f(x1)fx2(t)− f(x2)fx1(t).

Comme (fx1,fx2) est libre, il existe t0 tel que Δt00. Les expressions de λ1 et λ2 par les formules de Cramer montrent qu’elles sont dans V .
En dérivant () une fois par rapport à x puis en prenant x = 0, on montre que f′∈ V . On en déduit que fest dérivable. De plus, il existe des fonctions μ1 et μ2 vérifiant

(∗∗)  f′(x+ t) = μ1(x)f(x1 + t) +μ2(x)f(x2 + t).

On montre de la même manière que μ12 V donc f′′∈ V .
La famille de trois vecteurs (f,f,f′′) d’un espace de dimension 2 est liée (condition suffisante de dépendance) donc f est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.