Énoncé

(Een09) Soit p1,⋅⋅⋅,pk des entiers naturels tels que

p1 + p2 + ⋅⋅⋅+ pk = n

On désigne par c(n,p1,⋅⋅⋅,pk) le nombre de k-uplets (A1,⋅⋅⋅,Ak) de parties d’un ensemble E à n éléments telles que :

A1 ⋅⋅⋅Ak = 1,n
(i,j) ∈{1,⋅⋅⋅,k}2 : i≠j A i Aj =
i ∈{1,⋅⋅⋅,k} : ♯Ai = pi
  1. Que vaut c(n,p,n p) ?
  2. Trouver une relation entre
    c(n,p ,⋅⋅⋅ ,p ) et c(n− p ,p ,⋅⋅⋅ ,p )
    1     k          k  1     k−1

    En déduire

                    ----n!-----
c(n,p1,⋅⋅⋅ ,pk) = p1!p2! ⋅⋅⋅ pk!
  3. Montrer la formule du multinôme
    (x  +⋅⋅⋅+ x )n
  1        k                      ∑
                          =                ----n!-----xp11⋅⋅⋅xpkk
                                         k p1!p2! ⋅⋅⋅ pk!
                            (p1,⋅⋅⋅ ,pk) ∈ ℕ
                            p1 + ⋅⋅⋅+ pk = n

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