Énoncé

(Eev01) Étudier les propositions suivantes en démontrant celles qui sont vraies et en donnant un contre-exemple pour les autres.

  1. 2 muni de l’addition usuelle et de la loi externe sur α(x,y) = (αx,0) est un espace vectoriel.
  2. L’ensemble des polynômes à coefficients réels divisibles par X2 + 1 est un espace vectoriel.
  3. Si A et B sont deux parties de E,
    Vect(A ∪B ) = Vect(A )∪ Vect(B ).
  4. La famille
    ((1,j,j2),(j,j2,1),(j2,1,j))

    n’admet aucune relation linéaire dans le espace vectoriel 3.

Corrigé

(Cev01)

  1. Ce n’est pas un espace-vectoriel car la multiplication externe ne vérifie pas 1(x,y) = (x,y).
  2. C’est bien un -espace vectoriel comme sous-espace de [X] car si des polynômes sont divisibles par X2 + 1, leurs combinaisons linéaires seront aussi divisibles.
  3. L’égalité est fausse en général car Vect(A B) est un sous-espace alors que Vect(A)Vect(B) ne l’est que si Vect(A) ou Vect(B) est inclus dans l’autre.
  4. Elle admet la relation linéaire
    (1,j,j2)+ (j,j2,1)+ (j2,1,j) = (0,0,0).