Énoncé

(Efc01) Inégalité de Hölder.
Soit n > 1 un nombre entier et

x1,x2,⋅⋅⋅ ,xn,y1,y2,⋅⋅⋅ ,yn

des réels strictement positifs. On se donne aussi un réel K > 0 un entier s et on définit des réels λ1,⋅⋅⋅n en posant pour tout i entre 1 et n :

λi = Kysi
  1. Soit p > 1 réel, montrer que la fonction x xp est convexe dans ]0,+[.
  2. Préciser K pour que
    ∑n
   λiyi = 1
i=1
  3. En utilisant la convexité de x xp et
    n∑       ∑n
   xiyi =   (λiyi)(xi)
i=1       i=1      λi

    former une inégalité. Préciser s pour que l’exposant de yi disparaisse.

  4. On définit le nombre q > 1 par la formule
    1  1
p + q = 1

    Démontrer l’inégalité de Hölder

    ∑n       (∑n   ) 1p ( ∑n  )1q
   xiyi ≤    xpi        yqi
i=1        i=1       i=1

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