Énoncé

(Efu27) Soient n,m tels que 0 < m < n et a +.

  1. En étudiant les variations d’une fonction appropriée, montrer que :
    (    a )mn-     a
 1+  m-   < 1+ n-.
  2. En déduire que :
               (        1m-    )n
∀u > 1, u ≤  1+ m-(u---−-1)  .
                    n
  3. Conclure que :
    ∀u > 1, n(u1n − 1) < m(um1− 1).

Corrigé

(Cfu27)

  1. Étudier f : x↦→(1 + m
n-x)m-
n 1 x, puis utiliser f(a
n).
  2. Exprimer a pour que u = (1 + am-)m puis utiliser l’inégalité de la question a.
  3. Commencer par prendre la puissance 1
n de l’inégalité du b.