Énoncé

(Egd12) Soit f ∈𝒞1(0,+[) et a un réel strictement positif tels que :

f(0) = f′(0) = 0 et f(a) = 0

Montrer qu’il existe un point M du graphe (autre que l’origine) tel que la tangente en M passe par l’origine.

Corrigé

(Cgd12)

PIC

Figure 1:Exercice 0

Soit m > 0 et M le point de coordonnées (m,f(m)). L’équations de la tangente au graphe en ce point est

y− f(m ) = f′(m )(x− m )

Elle passe par l’origine du repère si et seulement si

f(m ) = f′(m )m

Il s’agit de montrer que, sous les hypothèses données, il existe un m > 0 tel que f(m) = f(m)m.
Considérons la fonction φ définie par :

      (
      { f(x)   si x > 0
φ(x) = ( x
        0      si x = 0

Par hypothèse, elle est continue en 0 et dérivable dans ]0,+[. De plus φ(0) = φ(a) = 0, on peut donc lui appliquer le théorème de Rolle entre 0 et a. Il existe un m > 0 tel que

 ′         f-′(m-)  f(m-)         ′
φ (m ) = 0 ⇔  m   −  m2  = 0 ⇔ mf (m ) = f(m )