Énoncé

(Eis26) Soit f une fonction continue dans + et admettant une limite finie en +, montrer que f est uniformément continue.

Corrigé

(Cis26) Ici f ∈𝒞([0,+∞ [) et f +∞
−−→l . Soit 𝜀 > 0. Comme f +∞
−−→l, il existe A > 0 tel que x A entraine |f(x)− l|𝜀
4.
Comme f restreinte à [0,A] est uniformément continue (thm de Heine), il existe α > 0 tel, dans [0,A], |y x|≤ α entraine |f(y)− f(x)|𝜀
2.
Montrons que dans [0,+ ∞ [,

|y− x| ≤ α ⇒ |f(y)− f(x)| ≤ 𝜀.

Si x et y sont dans [0,A ], cela résulte directement de la définition de α.
Si x et y sont dans [A, +∞ [,

|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− l|+|l− f(x)| ≤ 𝜀
                                  2

Si A est entre les deux. Par exemple x A y alors A x y x α donc

|f(y) − f (x)| ≤ |f(y)− f(A)|+ |f(A) − l|
                                                    𝜀   𝜀   𝜀
                                        + |l− f (y)| ≤ 2 + 4 + 4.