Énoncé
(Eis26) Soit f une fonction continue dans ℝ+ et admettant une limite finie en +∞, montrer que f est uniformément continue.
Corrigé
(Cis26)
Ici f ∈𝒞() et f
l ∈ ℝ. Soit 𝜀 > 0. Comme f
l, il existe A > 0 tel que
x ≥ A entraine
≤
.
Comme f restreinte à est uniformément continue (thm de Heine), il existe
α > 0 tel, dans
, |y − x|≤ α entraine
≤
.
Montrons que dans ,
Si x et y sont dans , cela résulte directement de la définition de
α.
Si x et y sont dans ,
Si A est entre les deux. Par exemple x ≤ A ≤ y alors A − x ≤ y − x ≤ α donc
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