Énoncé

(Eml07) Multiplicateurs de Lagrange.
Soit E un K espace vectoriel fixé. Sauf précision, toutes les formes linéaires sont relatives à cet espace.

  1. Soit α une forme linéaire non nulle et a E tel que α(a)0. Montrer que α est surjective et que les sous-espaces Vect(a) et ker(α) sont supplémentaires.
  2. Soient α,β des formes linéaires non nulles. Montrer que
    kerα ⊂ kerβ ⇒ kerα = kerβ
  3. Montrer qu’il existe une relation linéaire entre deux formes non nulles si et seulement si elles ont le même hyperplan noyau.
  4. Soient α,β,γ des formes linéaires non nulles dont les noyaux sont deux à deux distincts mais tels que
    kerα ∩kerβ ⊂ kerγ

    En considérant la restriction notée αde α à kerβ et la restriction notée γde γ à kerβ, montrer qu’il existe une relation linéaire entre α, β, γ.

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