Énoncé

(Emo08) Soit A ∈ℳp,q(), montrer que

rg(tAA ) = rg(A )

On pourra montrer que

∀X ∈ ℳq,1(ℝ) : tAAX = 0ℳq,1(ℝ) ⇒ AX  = 0ℳp,1(ℝ)

Corrigé

(Cmo08) Commençons par montrer l’implication suggérée

tAAX  = 0ℳq,1(ℝ) ⇒ tXtAAX   = 0ℝ
                       ⇒  t(AX )AX  = 0ℝ
                                                        (   )
                                                          y1
                             ⇒  y21 + ⋅⋅⋅+ y2p = 0 avec AX = |( ...|)
                                                          yp

On en déduit ker(t AA) ker(A).
L’inclusion réciproque étant évidente, les noyaux sont égaux. On conclut en utilisant la version matricielle du théorème du rang : le rang d’une matrice est égale à son nombre de colonne mois la dimension de son noyau.