Énoncé

(Ere02) Soit A et B deux parties non vides et bornées de . On définit une partie de notée A + B par :

A + B = {a+ b,(a,b) ∈ A × B }.

Montrer A + B est bornée et que

sup (A + B ) = supA + supB, inf(A + B) = infA + inf B.

Corrigé

(Cre02) Pour tout s A + B, il existe (a,b) A × B tel que

s = a + b ⇒ infA + inf B ≤ s ≤ supA + supB.

On en déduit que A + B est bornée et que

infA + infB  ≤ inf(A+ B ) ≤ sup(A + b) ≤ sup A + sup B.

D’autre part, notons S = sup(A + B),

(∀a ∈ A,∀b ∈ B, a+ b ∈ A + B)
                  ⇒ (∀a ∈ A,∀b ∈ B, a+ b ≤ S)
                 ⇒  (∀a ∈ A,(∀b ∈ B, b ≤ S − a))
                   ⇒ (∀a ∈ A,S − a majore B)

                    ⇒ (∀a ∈ A, sup B ≤ S − a)
                    ⇒ (∀a ∈ A, a ≤ S − sup B)
                     ⇒ (S − sup B majore A )
                ⇒  supA ≤ S − sup B ⇒ supA + supB ≤ sup(A + B).

On en déduit supA + supB = sup(A + B).
L’égalité pour les bornes inférieures se démontre par une suite d’implications analogues commençant par

(∀a ∈ A,∀b ∈ B, inf(A+ B ) ≤ a +b) ⇒ ⋅⋅⋅ .