Énoncé
(Ere05)
Soit f une fonction de
dans
telle que
![∀(x,y) ∈ [0,1]2,|f(x)− f(y)| ≥ |x − y|.](Aexo_re052x.png)
Montrer que f(x) = x pour tous les x de [0,1] ou que f(x) = 1 −x pour tous les x de [0,1].
Corrigé
(Cre05)
En appliquant la relation avec 0 et 1, on obtient |f(0) − f(1)|≥ 1 ce qui, combiné
avec f(0) et f(1) dans [0,1], entraine que f(0) = 0 et f(1) = 1 ou f(0) = 1 et
f(1) = 0. On passe d’un cas à l’autre en considérant 1 − f qui vérifie la même
propriété que f.
On suppose donc f(0) = 0 et f(1) = 1. On applique la propriété entre 0 et
x ∈]0,1[ :
![}
|f (x)| ≥ |x|
f(x) ∈ [0,1] ⇒ f(x) ≥ x](Aexo_re053x.png)
puis entre 1 et x
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