Énoncé

(Ere05) Soit f une fonction de [0,1] dans [0,1] telle que

∀(x,y) ∈ [0,1]2,|f(x)− f(y)| ≥ |x − y|.

Montrer que f(x) = x pour tous les x de [0,1] ou que f(x) = 1 x pour tous les x de [0,1].

Corrigé

(Cre05) En appliquant la relation avec 0 et 1, on obtient |f(0) f(1)|≥ 1 ce qui, combiné avec f(0) et f(1) dans [0,1], entraine que f(0) = 0 et f(1) = 1 ou f(0) = 1 et f(1) = 0. On passe d’un cas à l’autre en considérant 1 f qui vérifie la même propriété que f.
On suppose donc f(0) = 0 et f(1) = 1. On applique la propriété entre 0 et x ]0,1[ :

          }
|f (x)| ≥ |x|
f(x) ∈ [0,1] ⇒ f(x) ≥ x

puis entre 1 et x

                }
|f(x)− 1| ≥ |x − 1|
f(x) ∈ [0,1]      ⇒  1− f(x) ≥ 1 − x

                                                    ⇒ f(x) ≤ x