Énoncé
(Ere10)
Critères d’irrationalité.
- Soit β > 0 rationnel, montrer qu’il existe q0 ∈ ℕ∗ tel que, pour tout couple
(p,q) ∈ ℕ∗2,
- Soit β > 0 irrationnel, montrer que les valeurs de la suite des parties
fractionnaires
n∈ℕ sont deux à deux distinctes. On dira que la suite
est injective. En déduire
- Soit β > 0 pour lequel qu’il existe un q0 ∈ ℕ∗ tel que, pour tout couple
(p,q) ∈ ℕ∗2,
Montrer que β est rationnel.
- Montrer qu’un nombre réel x > 0 est irrationnel si et seulement si il existe
deux suites
n∈ℕ et
n∈ℕ d’entiers tels que
Corrigé
(Cre10)
Critères d’irrationalité.
- Soit β =
> 0 avec a et b ∈ ℕ∗. Alors
On peut donc prendre q0 = b car |qa − pb|≥ 1 (naturel non nul).
- Si m et n sont des entiers distincts tels que
alors
La suite injective
n∈ℕ prend une infinité de valeurs dans ]0,1[. Pour
tout n > 0, il existe (principe des tiroirs) des entiers distincts u et v tels
que
On en tire
- La proposition contraposée de la précédente est :
Lorsque β vérifie l’hypothèse de c. et en prenant un n > q0, la proposition
entre parenthèse est vérifiée assurant que β est rationnel.
- Supposons β irrationnel. La question b. montre l’existence des suites d’entiers
vérifiant la condition.
Réciproquement, supposons l’existence des suites d’entiers an et bn vérifiant
la condition. La condition de la question a. ne peut alors être vérifiée donc
β n’est pas rationnel.