Énoncé

(Ere10) Critères d’irrationalité.

  1. Soit β > 0 rationnel, montrer qu’il existe q0 tel que, pour tout couple (p,q) 2,
    p       ||   p||    1
q ⁄= β ⇒ ||β − q|| ≥ qq-
                   0
  2. Soit β > 0 irrationnel, montrer que les valeurs de la suite des parties fractionnaires ({nβ})n sont deux à deux distinctes. On dira que la suite est injective. En déduire
    β > 0 irrationnel ⇒
                       ∀n ∈ ℕ∗,∃(p,q) ∈ ℤ × ℤ∗ tq 0 < |qβ − p| ≤ 1
                                                             n
  3. Soit β > 0 pour lequel qu’il existe un q0 tel que, pour tout couple (p,q) 2,
    p       ||   p||    1
q ⁄= β ⇒ ||β − q|| ≥ qq-
                   0

    Montrer que β est rationnel.

  4. Montrer qu’un nombre réel x > 0 est irrationnel si et seulement si il existe deux suites (an)n et (bn)n d’entiers tels que
    ∀n ∈ ℕ, anx + bn ⁄= 0 et (anx + bn)n∈ℕ → 0

Corrigé

(Cre10) Critères d’irrationalité.

  1. Soit β = a
b > 0 avec a et b . Alors
    ||   p||          1-
||β − q|| = |qa− pb|bq

    On peut donc prendre q0 = b car |qa pb|≥ 1 (naturel non nul).

  2. Si m et n sont des entiers distincts tels que
    nβ = ⌊nβ⌋+ {nβ} et m β = ⌊mβ ⌋+ {mβ}

    alors

                      ⌊nβ-⌋−-⌊mβ⌋
{nβ} = {mβ } ⇒ β =   n − m    ∈ ℚ

    La suite injective ({nβ})n prend une infinité de valeurs dans ]0,1[. Pour tout n > 0, il existe (principe des tiroirs) des entiers distincts u et v tels que

    |{uβ} − {vβ}| < 1
              n

    On en tire

    |                     |
||                     ||
||(u− v)β − (⌊uβ⌋ − ⌊vβ⌋)||<-1
||◟-◝◜-◞   ◟----◝◜----◞||  n
   =q          =p
  3. La proposition contraposée de la précédente est :
    (                        ⌊           )
|                        ||qβ − p| = 0 |
|∃n ∈ ℕ∗ tq ∀(p,q) ∈ ℤ× ℤ ∗| ou      |
(                        ⌈         1-)
                          |qβ − p| > n
                                                  ⇒ β rationnel

    Lorsque β vérifie l’hypothèse de c. et en prenant un n > q0, la proposition entre parenthèse est vérifiée assurant que β est rationnel.

  4. Supposons β irrationnel. La question b. montre l’existence des suites d’entiers vérifiant la condition.
    Réciproquement, supposons l’existence des suites d’entiers an et bn vérifiant la condition. La condition de la question a. ne peut alors être vérifiée donc β n’est pas rationnel.