Énoncé

(Ere15) Suites sous-additives. Lemme de Feteke.
Soit (un)n une suite de réels positifs, telle que

∀ (m, n) ∈ ℕ2,um+n ≤ um + un.

Montrer que (unn)n converge vers inf{unn-,n }.
(difficile, utiliser une division euclidienne.)

Corrigé

(Cre15) Soit V = {         }
 unn, n ∈ ℕ∗ et l = inf V .
Il s’agit de la borne inférieure d’une partie non vide minorée par 0. Par définition c’est un minorant de V donc

            u
∀n ∈ ℕ∗, l ≤-n.
            n

Soit 𝜀 > 0. Alors l + 𝜀2 l est faux donc l + 𝜀2 n’est pas un minorant de V (la borne inférieure est le plus grand des minorants). Donc :

∃s ∈ ℕ ∗ tq us< l+ 𝜀.
          s       2

Écrivons la division euclidienne de n par s :

∃(q,s) ∈ ℕ× ⟦0,s− 1⟧ tq n = q s+ r.

La condition de sous-additivité entraine

un ≤ qus +ur.

Notons M = max(u1,u2,⋅⋅⋅,us1 et divisons par n :

un-≤ -qus + ur ≤ qs us + M-≤  us+ M--.
 n   n      n   ◟n◝◜◞s    n    s    n
                 ≤1

Comme la suite (M-
n)n converge vers 0,

∃t ∈ ℕ tq n ≥ t ⇒ M-≤ 𝜀 .
                 n   2

Soit N = max(s,t).

           un    us    M
∀n ≥ N, l ≤-n-≤  -s  + -n- ≤ l+ 𝜀.
                 ◟◝◜◞𝜀   ◟◝◜◞𝜀
                ≤l+2   ≤ 2

Voir le corrigé du problème Et si j’en achète plusieurs ? Combien pour chaque ? (http ://back.maquisdoc.net/v-1/index.php ?act=cheltid_elt=8876) sur les suites sous-additives