Énoncé
(Ere15)
Suites sous-additives. Lemme de Feteke.
Soit (un)n∈ℕ une suite de réels positifs, telle que
Montrer que ()n∈ℕ∗ converge vers inf{
,n ∈ ℕ∗}.
(difficile, utiliser une division euclidienne.)
Corrigé
(Cre15)
Soit V = et l = inf V .
Il s’agit de la borne inférieure d’une partie non vide minorée par 0. Par définition
c’est un minorant de V donc
Soit 𝜀 > 0. Alors l + ≤ l est faux donc l +
n’est pas un minorant de V (la
borne inférieure est le plus grand des minorants). Donc :
Écrivons la division euclidienne de n ∈ ℕ par s :
La condition de sous-additivité entraine
Notons M = max(u1,u2,,us−1 et divisons par n :
Comme la suite ()n∈ℕ∗ converge vers 0,
Soit N = max(s,t).
Voir le corrigé du problème Et si j’en achète plusieurs ? Combien pour chaque ? (http ://back.maquisdoc.net/v-1/index.php ?act=cheltid_elt=8876) sur les suites sous-additives