Énoncé

(Esl01) Le paramètre m et les inconnues x, y, z sont complexes. Discuter et résoudre les systèmes

   (
   |{ x+ my + m2z = 0
(1)    mx + y+ mz = 0 ,
   |( -2    --
     m x + my + z = 0                 (
                                      |{  x − my + m2z = 2m
                                  (2)  mx  − m2y+ mz  = 2m   .
                                      |(            2
                                         mx + y − m z = 1− m

Corrigé

(Csl01) En présence d’un paramètre, la multiplication d’une équation par une expression contenant le paramètre n’est pas une opération élémentaire et ne conserve pas l’ensemble des solutions. On ne doit pas utiliser ce genre de transformation.
Système (1).
En utilisant L3 L3 mL2, L2 L2 mL1, on obtient un système triangulaire équivalent

(
|{ x + my            +m2z  = 0
   (1− |m|2)y+m (1− |m |2)z = 0
|(                      2
                (1− |m |)z = 0

Si |m|1, le système admet une unique solution. Si |m| = 1, le système est équivalent àla seule équation

          2
x+ my + m  z = 0.

Système (2).
En utilisant L3 L3 L2, L2 L2 mL1, L2 L3, on obtient un système triangulaire équivalent

(| x−        my+m2z                  = 2m
{           2     2                     2
|(     (1 +m  )y− m (1 + m)z  = 1− m − 2m
                (m − m3)z     = 2m − 2m2

On présente les ensembles de solutions dans les différents cas après calculs.
Si m∕∈{i,− i,0,1,− 1},

{(          2                 )}
   --m-(3-+-m-)---, 1−-m-,--2--   .
   (1 + m2)(1+ m ) 1+ m2  1+ m

Si m = 0.

{(0,1,t),t ∈ ℂ }.

Si m = 1.

{(1,t− 1,t),t ∈ ℂ} .

Si m {i,− i− 1}, pas de solution.