Énoncé

(Esl06) Soit λ, μ, γ, δ des nombres complexes tels que λ≠μ et γδ≠0. On définit des fonctions g et gde dans par :

       {
         g(t) = γeλt + δeμt
∀t ∈ ℝ,  g′(t) = γλeλt + δμeμt.

Pour tous α et β complexes, on définit f par

∀t ∈ ℝ, f(t) = αeλt + βeμt.

En utilisant les formules de Cramer, exprimer des complexes K et Ktels que

f = Kg + K ′g′.

Corrigé

(Csl06) En combinant les définitions, on montre qu’il suffit que K et Kvérifient

{
 γK + γλK ′ = α
 δK  +δμK ′ = β .

Il s’agit d’un système de Cramer de déterminant

    ||γ  γλ||
D = ||δ  δμ|| = γδ(μ− λ).

D’après les formules de Cramer,

    |     |
    ||α  γλ||
    |β--δμ|   αδμ-− β-γλ
K =    D    = γδ(μ − λ ) ,
                                            ||γ  α||
                                            ||δ  β||   γ β − δα
                                       K ′ =------ = --------.
                                              D      γδ(μ− λ)