Énoncé

(Esr04) Soit a et b réels strictement positifs fixés. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur u0 et v0 pour que les suites (un )n et (vn )n définies par récurrence par

             ∘ -------       ∘ -------
∀n ∈ ℕ,un+1 =  a+ bun, vn+1 =   a+ bvn,

soient adjacentes.

Corrigé

(Csr04) Définissons des fonction f et φ dans

   ( [       [
   {  − a-,+ ∞ →  ℝ
f :(   b         √------, φ (x ) = f(x)− x
             x ↦→  a + bx

La fonction f est croissante et admet un unique point fixe

       ∘ ------
c = b+   b2 + 4a

On peut déterminer le signe de f(x) x.

a
b c +






f(x) x + 0

On se trouve dans le cas de l’étude traitée en cours. La condition assurant que les suites sont adjacentes est donc

u0 < c < v0.