Énoncé

(Etl01) Soit f ∈𝒞2() avec f et f′′ bornées. On note

M0  = sup (|f|) , M2 = sup(|f ′′|)
       ℝ            ℝ
  1. Montrer que,
    ∀a > 0,∀x ∈ ℝ, |f′(x)| ≤ M0-+ M2-a
                       a    2

    On pourra utiliser deux fois une formule de Taylor (quel reste ?) à l’ordre 2 en considérant les points x, x a, x + a.

  2. En déduire que fest bornée et que
         ∘ -------
M1 ≤   2M0M2  avec M1 = sup(|f′|).
                         ℝ
  3. On définit une fonction f dans [2,+[ par :
           (|    x2
       |{1 − 2      si x ∈ [− 2,0]
f (x) = |  2+ x2               .
       |( 2(1-+-x2)      si x > 0

    Montrer que f est 𝒞2 et calculer M0, M1, M2. Que peut-on en conclure pour l’inégalité du b. ?

Corrigé

(Ctl01)

  1. Écrivons les formules de Taylor avec reste intégral entre x et x a puis entre x et x + a.
    (
||                  ′     a2 ′′
{f (x − a) = f(x)− af (x )+ 2 f (x)+ R− (x)
||                  ′     a2 ′′
(f (x + a) = f(x)+ af (x )+ 2 f (x)+ R+ (x)
                 ⇒ 2af′(x) = f(x+ a)− f (x − a)

                      − (R+ (x)− R− (x))
               avec |f(x +a) − f(x − a)| ≤ 2M0 et
                                                         a2
                                       |R+ (x )− R− (x)| ≤ 2 2 M2

    par l’inégalité de Taylor Lagrange. On en déduit l’inégalité demandée.

  2. La question précédente montre que pour tout a ,
    M0-+ M2- a
 a    2

    est un majorant de |f′|. Le meilleur majorant que l’on peut obtenir ainsi est la plus petite valeur de la fonction

           M0    M2
φ : a ↦→-a-+  2--a.

    On forme le tableau de variations de la fonction

    φ′(a) = − M0 + M2-.
         a2    2

    La fonction est décroissante puis croissante. Elle atteint sa plus petite valeur √ -------
  2M0M1 en ∘ ----
  2MM02-.

  3. On calcule les dérivées dans chaque intervalle pour former les tableaux de variations.
           (
  ′    { − x          si − x ∈ [− 2,0]
f (x) = ( −----x---   si x ∈ [0,+ ∞ [
           (1 +x2)2

           (
 ′′    |{ − 1          si − x ∈ [− 2,0]
f (x) = |   3x2-−-1-
       ( −  (1 + x2)3   si x ∈ [0,+∞ [

    On constate que les fonctions se raccordent bien et que f est donc 𝒞2.

    f(3)(x) = --12x---(1 − x2) si x > 0.
         (1+ x2)4

    On en déduit M0 = M1 = 2 et M2 = 1 qui sont atteints en 2 et non aux extréma locaux (0, 1
√3-,  1
√2-). Cette fonction vérifie M1 = √ ------
  M0M2 mais elle n’est pas dans 𝒞2() donc on n’a pas montré que l’inégalité du b. est optimale.