Énoncé

(Etl07) On définit une fonction f par :

                   ∫
       π-π-         π
∀a ∈ ]− 2,2 [, f (a) = 0 tan(a sinx)dx

Montrer que, en 0,

f(a) = 2a +O (a3)

Former un développement limité à l’ordre 3 de f en 0

Corrigé

(Ctl07) Toute formule de Taylor est une formule de Taylor idiote. Par exemple

tan u = u + R(u)

R est le reste c’est à dire

R (u ) = tanu− u.

Ce qui fait l’utilité d’une formule de Taylor c’est l’information dont on dispose sur le reste. Il n’est pas intéressant d’introduire trop tôt ce renseignement dans le contexte d’une intégrale.

      ∫ π
f(a) =   (asin x+ R (a sinx )) dx
       0
                                                ∫ π
                                          = 2a+  0 R (a sinx) dx

On connait les développements limités de tan. On en déduit une information sur le reste

          3
R(u) ∈ O (u )

que l’on traduit sous une forme adaptée à l’utilisation dans l’intégrale. Il existe une fonction φ définie au voisinage de 0 telle que

        3
R (u) = u φ(u)

La fonction φ est localement bornée en 0. Il existe α > 0 et Φ > 0 tels que

                   3
|u| ≤ α ⇒ |R(u)| ≤ |u| Φ

On en déduit, en majorant l’intégrale,

        ||∫ π           ||  ∫ π  3     3
|a| ≤ α ⇒ || 0 R (asin x)dx|| ≤ 0 |a|(sin x)Φ dx
                                                             3
                                                      ≤ πΦ |a|