Énoncé

(Evc01) Définition de l’exponentielle complexe1
On rappelle que, si a est un nombre réel, on note

a+ = max(a,0),a− = max (− a,0)

On a alors a = a+ a.

  1. Montrer, pour tout r réel positif la convergence de la suite réelle (1 + 1-
1!r + 1-
2!r2 + ⋅⋅⋅ + 1-
n!rn) n.
  2. Soit (un)n une suite de nombres complexes, on pose
    sn = u0 + u1 + ⋅⋅⋅ + un
    Sn = |u0| + |u1| + ⋅⋅⋅ + |un|.

    Montrer que la convergence de la suite à valeurs réelles (Sn)n entraîne celle de la suite complexe (sn)n. Dans toute la suite et pour tout z , on note

    sn(z) = 1 + 1
1!z +  1
2!z2 + ⋅⋅⋅ +  1
n!zn,
    Sn(z) = 1 + 1
1!|z| +  1
2!|z|2 + ⋅⋅⋅ +  1
n!|z|n
    = sn(|z|)
  3. Montrer que (sn(z))n converge. On note s(z) sa limite.
  4. Montrer que s(z) = s(z).
    1. Montrer que, pour tout complexes z et z,
              ′          ′
sn(z)sn(z )− sn(z + z)
                                        =       ∑         ziz′j
                                                    2      i!j!
                                          (i,j)∈{0,...,n},i+j>n
    2. Montrer que pour tout complexes z et z,
      ||                 i′j||
||      ∑         zz--||
||(i,j)∈{0,...,n}2,i+j>n i!j! ||
               ′           ′
  ≤  s2n(|z|+ |z|)− sn(|z|+ |z |)
    3. En déduire
      ∀(z,z′) ∈ ℂ2, s(z + z′) = s(z)s(z′)
  5. Soit z un nombre complexe fixé, montrer que la dérivée de t s(tz) est zs(tz).

En fait on définit la fonction exponentielle complexe en posant exp(z) = s(z) pour tout nombre complexe z. On vient de démontrer certaines des propriétés admises en début d’année lors de la présentation des fonctions usuelles.

Corrigé

pas encore de corrigé